Question

5．已知函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）-$\frac{1}{x}$]=2，則f（$\frac{1}{6}$）的值是（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 首先，根據(jù)函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）-$\frac{1}{x}$]=2，得到f（x）-$\frac{1}{x}$為一個(gè)常數(shù)，令f（x）-$\frac{1}{x}$=n，則f（n）=2，求出n，可求出函數(shù)的解析式，即可得出結(jié)論．

解答 解：根據(jù)題意，得若對(duì)任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）-$\frac{1}{x}$]=2，得到f（x）-$\frac{1}{x}$為一個(gè)常數(shù)，
令f（x）-$\frac{1}{x}$=n，
則f（n）=2，
∴2-$\frac{1}{n}$=n，
∴n=1，
∴f（x）=1+$\frac{1}{x}$，
∴f（$\frac{1}{6}$）=7，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的值，函數(shù)解析式的求法，其中抽象函數(shù)解析式的求法，要注意對(duì)已知條件及未知條件的湊配思想的應(yīng)用．