Question

18．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，并且a₂=2，S₅=15，數(shù)列{b_n}滿足：${b_1}=\frac{1}{2}$，${b_{n+1}}=\frac{n+1}{n}{b_n}（n∈{N^*}）$，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n及前n項(xiàng)和為S_n；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n及前n項(xiàng)和為T(mén)_n；求T_n的最值并求此時(shí)n的序號(hào)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₂=2，S₅=15，可得a₁+d=2，5a₁+$\frac{5×4}{2}$×d=15，解得a₁，d即可得出．
（2）{b_n}滿足：${b_1}=\frac{1}{2}$，${b_{n+1}}=\frac{n+1}{n}{b_n}（n∈{N^*}）$，可得$\frac{_{n+1}}{n+1}=\frac{_{n}}{n}$=…=$\frac{_{1}}{1}$=$\frac{1}{2}$，即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₂=2，S₅=15，∴a₁+d=2，5a₁+$\frac{5×4}{2}$×d=15，
解得a₁=d=1．
∴${a_n}=n，{S_n}=\frac{{{n^2}+n}}{2}$．
（2）數(shù)列{b_n}滿足：${b_1}=\frac{1}{2}$，${b_{n+1}}=\frac{n+1}{n}{b_n}（n∈{N^*}）$，
∴$\frac{_{n+1}}{n+1}=\frac{_{n}}{n}$=…=$\frac{_{1}}{1}$=$\frac{1}{2}$，
∴b_n=$\frac{1}{2}$n，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{n（\frac{1}{2}+\frac{1}{2}n）}{2}$=$\frac{{n}^{2}+n}{4}$．當(dāng)n=1是T_n有最小值$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．