Question

黃山旅游公司為了體現尊師重教，在每年暑假期間對來黃山旅游的全國各地教師和學生，憑教師證和學生證實行購買門票優(yōu)惠．某旅游公司組織有22名游客的旅游團到黃山旅游，其中有14名教師和8名學生．但是只有10名教師帶了教師證，6名學生帶了學生證．
（Ⅰ）在該旅游團中隨機采訪3名游客，求恰有1人持有教師證且持有學生證者最多1人的概率；
（Ⅱ）在該團中隨機采訪3名學生，設其中持有學生證的人數為隨機變量ξ，求ξ的分布列及數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個古典概型，恰有1人持有教師證且持有學生證者最多1人包括兩種情況，一個是1名教師有教師證，1名學生有學生證，另一個是1名教師有教師證，0名學生有學生證，這兩種情況是互斥的．
（2）由于8名學生中有6名學生有學生證，而又在該團中隨機采訪3名學生，得到持有學生證的人數隨機變量ξ的可能取值是1、2、3，根據古典概型公式做出各種結果，寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）記事件A為“采訪3名游客中，恰有1人持有教師證且持有學生證者最多1人”，
則該事件分為兩個事件A₁和A₂，
A₁為“1名教師有教師證，1名學生有學生證”；
A₂為“1名教師有教師證，0名學生有學生證”．
P(A)=P(A1)+P(A2)=

C 1 10 • C 1 6 • C 1 6

C 3 22

+

C 1 10 • C 2 6

C 3 22

=

3

77

+

5

308

=

17

308

∴在隨機采訪3人，恰有1人持有教師證且持有學生證者最多1人的概率

17

308

．

（Ⅱ）由于8名學生中有6名學生有學生證，
∴ξ的可能取值為1，2，3，
則P(ξ=1)=

C 1 6 C 2 2

C 3 8

=

3

28

，
P(ξ=2)=

C 2 6 C 1 2

C 3 8

=

15

28

，
P(ξ=3)=

C 3 6

C 3 8

=

5

14

，
∴ξ的分布列為

∴Eξ=1×

3

28

+2×

15

28

+3×

5

14

=

63

28

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和方差，解題過程中應用古典概型知識，本題這種類型是近幾年高考題中經常出現的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．