Question

如圖a所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，E在BC上，且EF∥AB．已知AB=AD=CE=2，沿線(xiàn)段EF把四邊形CDEF折起如圖b所示，使平面CDEF⊥平面ABEF．
（1）求證：AF⊥平面CDEF；
（2）求三棱錐C-ADE的體積；
（3）求二面角B-AC-D的余弦值．

Answer 1

（1）證明：∵平面CDFE⊥平面ABEF，且平面CDFE∩平面ABEF=EF，AF⊥FE，AF?平面ABEF，
∴AF⊥平面CDEF；
（2）解：由（1）知，AF為三棱錐A-CDE的高，且AF=1，
又∵AB=CE=2，∴S△CDE=×2×2=2，
故三棱錐C-ADE體積V=AF•S_△CDE=；
（3）解：由題意，AD=，CD=，BC=，AB=2，AC=3
∴S_△ABC==
∵cos∠DCA===
∴sin∠DCA=
∴sin∠DCA==
∴二面角B-AC-D的余弦值為==．
分析：（1）由平面CDFE⊥平面ABEF，AF⊥FE，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得AF⊥平面CDEF；
（2）AF為三棱錐A-CDE的高，計(jì)算出AF的長(zhǎng)及底面三角形ADE的面積，代入棱錐體積公式可得答案；
（3）利用二面角B-AC-D的余弦值為，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與平面垂直的判定，棱錐的體積，考查面面角，解題的關(guān)鍵是熟練掌握面面垂直，線(xiàn)面垂直及線(xiàn)線(xiàn)垂直的相互轉(zhuǎn)化，判斷出棱錐的高和底面面積，屬于中檔題．