Question

設函數f（x）=xⁿ+x-1（（n∈N₊，n≥2）．則f（x）在區(qū)間（，1）內（ ）
A．存在唯一的零點x_n，且數列x₂，x₃，…，x_n…單調遞增
B．存在唯一的零點x_n，且數列x₂，x₃，…，x_n…單調遞減
C．存在唯一的零點x_n，且數列x₂，x₃，…，x_n…非單調數列
D．不存在零點

Answer 1

【答案】分析：利用零點的判斷方法只要判斷，說明函數f（x）在區(qū)間（，1）內存在零點；利用導數可證明f（x）在區(qū)間（，1）上單調，即可說明f（x）在區(qū)間（，1）內存在唯一的零點．再利用條件證明零點單調即可．
解答：解：當n≥2時，，f（1）=1＞0，∴，∴f（x）在區(qū)間（，1）內有零點．
又當x∈（，1）時，f^′（x）=nx^n-1+1＞0，∴f（x）在區(qū)間（，1）上單調遞增．
故函數f（x）在區(qū)間（，1）內存在唯一的零點x_n．
下面證明所有零點組成的數列x₂，x₃，…，x_n…單調遞增．
由，，，（i∈N₊）（i≥2）可知：x_n≠x_n+1．
用反證法證明：必有x_n＜x_n+1．
如若不然，則x_n+1＜x_n．
∵，于是，
∴1=＜=1，矛盾．
故必有x_n＜x_n+1．
故選A．
點評：熟練掌握函數零點的判斷方法、利用導數證明單調性及反證法是解題的關鍵．