Question

4．如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，線段B₁D₁上有兩個動點E、F，且$EF=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則下列結(jié)論中正確的是①②③④．
①EF∥平面ABCD；
②平面ACF⊥平面BEF；
③三棱錐E-ABF的體積為定值；
④存在某個位置使得異面直線AE與BF成角30^o．

Answer 1

分析 ①，由EF∥平面ABCD判定；
②，動點E、F運動過程中，AC始終垂直面BEF；
③，三棱錐E-ABF的底△BEF的面積為定值，A到面BEF的距離為定值，故其體積為定值，；
④，令上底面中心為O，當(dāng)E與D₁重合時，此時點F與O重合，則兩異面直線所成的角是∠OBC₁，可求解∠OBC₁=30⁰．

解答 解：如圖：
對于①，∵面ABCD∥面A₁B₁C₁D₁，EF?面A₁B₁C₁D₁，∴EF∥平面ABCD，故正確；
對于②，動點E、F運動過程中，AC始終垂直面BEF，∴平面ACF⊥平面BEF，故正確；
對于③，三棱錐E-ABF的底△BEF的面積為定值，A到面BEF的距離為定值，故其體積為定值，故正確；
對于④，令上底面中心為O，當(dāng)E與D₁重合時，此時點F與O重合，則兩異面直線所成的角是∠OBC₁，可求解∠OBC₁=30⁰，故正確．
故答案為：①②③④

點評 本題考查了空間線面、線線、面面位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．