【題目】(題文)已知函數(shù),其中為正實(shí)數(shù).

(1)若函數(shù)處的切線斜率為2,求的值;

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(3)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求證:

【答案】(1)1;(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析

【解析】試題分析:(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得,解得的值;(2)先求導(dǎo)數(shù),再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是否變號(hào)分類(lèi)討論,最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間(3)先根據(jù)韋達(dá)定理得,再化簡(jiǎn),進(jìn)而化簡(jiǎn)所證不等式為,最后利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)單調(diào)性,進(jìn)而確定最小值,證得結(jié)論

試題解析:(1)因?yàn)?/span>,所以

,所以的值為1.

(2) ,函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

,即,則,此時(shí)的單調(diào)減區(qū)間為;

,即,則的兩根為,

此時(shí)的單調(diào)減區(qū)間為,,

單調(diào)減區(qū)間為

(3)由(2)知,當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且

因?yàn)?/span>

要證,只需證

構(gòu)造函數(shù),則,

上單調(diào)遞增,又,且在定義域上不間斷,

由零點(diǎn)存在定理,可知上唯一實(shí)根, 且

上遞減, 上遞增,所以的最小值為

因?yàn)?/span>,

當(dāng)時(shí), ,則,所以恒成立.

所以,所以,得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(注:圖表一每個(gè)城市的條形圖從左到右依次是12、3、4月份;圖表二每個(gè)月份的條形圖從左到右四個(gè)城市依次是北京、天津、上海、重慶)

A.3月份四個(gè)城市之間的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)與其它月份相比增長(zhǎng)幅度較為平均

B.4月份僅有三個(gè)城市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)超過(guò)102

C.四個(gè)月的數(shù)據(jù)顯示北京市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)增長(zhǎng)幅度波動(dòng)較小

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