Question

6．已知函數(shù)f（x）的定義域[-1，5]，部分對(duì)應(yīng)值如表，f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，

x	-1	0	2	4	5
f（x）	1	4	1.5	4	1

下列關(guān)于函數(shù)f（x）的命題：
①函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，4]；
②函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)；
③如果當(dāng)x∈[-1，t]時(shí)，f（x）的最大值是4，那么t的最大值為4；
④當(dāng)1＜a＜4時(shí)，函數(shù)y=f（x）-a最多有4個(gè)零點(diǎn)．
其中正確的命題個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊值，可判斷①的真假；
根據(jù)已知導(dǎo)函數(shù)的圖象，易分析出f（x）在[0，2]上的單調(diào)性，可判斷②的真假；
根據(jù)已知導(dǎo)函數(shù)的圖象，及表中幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，易分析出0≤t≤5，均能保證x∈[-1，t]時(shí)，f（x）的最大值是2，進(jìn)而判斷③的真假；
由導(dǎo)函數(shù)的圖象知，當(dāng)1＜a＜4時(shí)，函數(shù)y=f（x）-a最多有4個(gè)零點(diǎn)，可得結(jié)論．

解答 解：∵由導(dǎo)函數(shù)的圖象知，函數(shù)f（x）的最大值點(diǎn)為0與4，最小值點(diǎn)-1或5，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，4]，故①正確；
由已知中y=f′（x）的圖象可得在[0，2]上f′（x）＜0，即f（x）在[0，2]是減函數(shù)，即②正確；
由已知中y=f′（x）的圖象，及表中數(shù)據(jù)可得當(dāng)x=0或x=4時(shí)，函數(shù)取最大值4，若x∈[-1，t]時(shí)，f（x）的最大值是4，那么0≤t≤5，故t的最大值為5，即③錯(cuò)誤；
由導(dǎo)函數(shù)的圖象知，當(dāng)1＜a＜4時(shí)，函數(shù)y=f（x）-a最多有4個(gè)零點(diǎn)，正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)已知，分析出函數(shù)的大致形狀，利用圖象分析函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．