Question

【題目】已知橢圓，過(guò)點(diǎn)且不過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．

（Ⅰ）若垂直于軸，求直線的斜率；

（Ⅱ）試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）平行，理由見(jiàn)解析．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意可設(shè)，，求出AE的方程，令可求得M的坐標(biāo)從而可得直線的斜率；（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)由可得；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)設(shè)，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示出、，化簡(jiǎn)可得，則.

（Ⅰ）因?yàn)?/span>過(guò)點(diǎn)且垂直于軸，所以可設(shè)，．

直線的方程為，

令，得，則，

所以直線的斜率．

（Ⅱ）直線與直線平行．證明如下：

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（Ⅰ）可知．

又因?yàn)橹本�的斜率，所以，

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為

設(shè)，，則直線的方程為．令，得點(diǎn)．

由，得，

所以，．

直線的斜率．

因?yàn)?/span>

，

所以．所以．

綜上可知，直線與直線平行．