【題目】已知函數(shù)f(x)=2lnx+ax﹣ (a∈R)在x=2處的切線經(jīng)過點(﹣4,2ln2)
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性
(2)若不等式 恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:由f(x)=2lnx+ax﹣ (a∈R),求導(dǎo)f′(x)= +a+ ,

當(dāng)x=2時,f′(2)=1+a+f′(2),

∴a=﹣1,

設(shè)切點為(2,2ln2+2a﹣2f′(2)),則切線方程y﹣(2ln2+2a﹣2f′(2))=f′(2)(x﹣2),

將(﹣4,2ln2)代入切線方程,2ln2﹣2ln2﹣2a+2f′(2))=﹣6f′(2),則f′(2)=﹣ ,

∴f′(x)= ﹣1﹣ = ≤0,

∴f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減


(2)解:由不等式 恒成立,則 (2lnx+ )>m,

令φ(x)=2lnx+ ,(x>0)求導(dǎo)φ′(x)= ﹣1=﹣( ﹣1)2≤0,

∴φ(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,

由φ(1)=0,

則當(dāng)0<x<1時,φ(x)>0,

當(dāng)x>1時,φ(x)<0,

(2lnx+ )在(0,+∞)恒大于0,

∴m≤0,

實數(shù)m的取值范圍(﹣∞,0]


【解析】(1)求導(dǎo),當(dāng)x=2時,代入f′(x),即可求得a=﹣1,求得點斜式方程,將(﹣4,2ln2)代入點斜式方程,即可求得f′(2),即可求得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)由題意可知 (2lnx+ )>m,構(gòu)造輔助函數(shù),求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點性質(zhì),求得 (2lnx+ )最小值,即可求得實數(shù)m的取值范圍.
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下面四個命題中,真命題是( ) ①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每30分鐘從生產(chǎn)流水線中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標(biāo)檢測,這樣的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣;
②兩個變量的線性相關(guān)程度越強,則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1;
③兩個分類變量X與Y的觀測值κ2 , 若κ2越小,則說明“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大;
④隨機變量X~N(0,1),則P(|X|<1)=2P(X<1)﹣1.
A.①④
B.②④
C.①③
D.②③

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知
(1)求角B的大小;
(2)若b= ,a+c=3,求△ABC的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知關(guān)于的不等式的解集為;

(1)若,求的取值范圍;

(2)若存在兩個不相等負實數(shù),使得,求實數(shù)的取值范圍;

(3)是否存在實數(shù),滿足:“對于任意,都有,對于任意的,都有”,若存在,求出的值,若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)
(1)若不等式f(x)﹣f(x+m)≤1恒成立,求實數(shù)m的最大值;
(2)當(dāng)a< 時,函數(shù)g(x)=f(x)+|2x﹣1|有零點,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某公司為了了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從A,B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了40個用戶,根據(jù) 用戶對其產(chǎn)品的滿意度的評分,得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布表.A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖
B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布表

滿意度評分分組

[50,60)

[50,60)

[50,60)

[50,60)

[50,60)

頻數(shù)

2

8

14

10

6


(1)(I)在答題卡上作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖,并通過此圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分 散 程度.(不要求計算出具體值,給出結(jié)論即可)
B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖

(2)(II)根據(jù)用戶滿意度評分,將用戶的滿意度評分分為三個等級:

滿意度評分

低于70分

70分到89分

不低于90分

滿意度等級

不滿意

滿意

非常滿意

估計那個地區(qū)的用戶的滿意度等級為不滿意的概率大,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明:(1)若ab > cd,則 +>+ ;(2) + > + 是|a-b| < |c-d|的充要條件
(1)(I)若abcd,則++
(2)(II)++是|a-b||c-d|的充要條件

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(2015新課標(biāo)II)已知橢圓C:9x2+y2=m2(m0),直線l不過原點O且不平行于坐軸,l與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M.
(1)(I)證明:直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值;
(2)(II)若l過點(,m)延長線段OM與C交于點P,四邊形OAPB能否為平行四邊形?若能,求此時l的斜率,若不能,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(2015·四川)如圖,橢圓E:的離心率是,過點P(0,1)的動直線l與橢圓相交于A,B兩點,當(dāng)直線l平行與x軸時,直線l被橢圓E截得的線段長為2.

(1)求橢圓E的方程;
(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,是否存在與點P不同的定點Q,使得恒成立?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案