Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，過頂點(diǎn)A任作一條直線l，與異面直線A₁C₁，B₁C所成的角都為60°，則這樣的直線l可作

1. A.
   1條
2. B.
   2條
3. C.
   3條
4. D.
   4條

Answer 1

C
分析：根據(jù)題意，因?yàn)锳₁D∥B₁C，所以直線A₁C₁和B₁C所成的角即為直線A₁C₁和A₁D所成的角，所以過A₁在空間作直線l，使l與直線A₁C₁和B₁C所成的角都等于60°，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)A在空間作直線l，使l與直線A₁C₁和A₁D所成的角都等于 60°．可分在平面ACD₁內(nèi)和在平面ACD₁外兩種情況尋找．因?yàn)橐�與直線A₁C₁和A₁D所成的角都相等，故在平面ACD₁內(nèi)可考慮角平分線；在平面ACD₁外可將角平分線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)考慮．
解答：因?yàn)锳₁D∥B₁C，所以直線A₁C₁和B₁C所成的角即為直線A₁C₁和A₁D所成的角，所以過A₁在空間作直線l，使l與直線A₁C₁和B₁C所成的角都等于60°，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)A在空間作直線l，使l與直線A₁C₁和A₁D所成的角都等于 60°．
因?yàn)椤螦CD₁=60°，∠ACD₁的外角平分線與A₁C₁和A₁D所成的角相等，均為60°，所以在平面ACD₁內(nèi)有一條滿足要求．
因?yàn)椤螦CD₁的角平分線與A₁C₁和A₁D所成的角相等，均為30°，將角平分線繞點(diǎn)A向上轉(zhuǎn)動(dòng)到與面ACD₁垂直的過程中，存在兩條直線與直線A₁C₁和B₁C所成的角都等于60°，故符合條件的直線有3條．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的問題，考查空間想象能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．