Question

【題目】如圖，以棱長為1的正方體的具有公共頂點(diǎn)的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，點(diǎn)P在對角線AB上運(yùn)動，點(diǎn)Q在棱CD上運(yùn)動．

(1)當(dāng)P是AB的中點(diǎn)，且2|CQ|＝|QD|時，求|PQ|的值；

(2)當(dāng)Q是棱CD的中點(diǎn)時，試求|PQ|的最小值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) (2) 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(), 最小值為.

【解析】

(1)根據(jù)正方體的性質(zhì)可得的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算可得結(jié)果；(2)根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,得＝．由，可得＝＝，可得的坐標(biāo)為，進(jìn)而可以用表示的長，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得結(jié)果.

(1)因?yàn)檎�方體的棱長為1，P是AB的中點(diǎn)，所以P().

因?yàn)?|CQ|＝|QD|，所以|CQ|＝，所以Q(0,1,).

由兩點(diǎn)間的距離公式得：

|PQ|＝＝.

(2)如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，則PE垂直于坐標(biāo)平面xOy.

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則由正方體的性質(zhì)可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)也為x.

由正方體的棱長為1，得|AE|＝ (1－x)．

因?yàn)?/span>，

所以|PE|＝＝1－x，

所以P(x，x,1－x)．

又因?yàn)镼(0,1,)，

所以|PQ|＝

所以當(dāng)x＝時，|PQ|min＝，即當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為()，

即P為AB的中點(diǎn)時，|PQ|的值最小，最小值為.