Question

（2013•深圳二模）如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

3

2

，經(jīng)過(guò)橢圓E的下頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)F的直線l與圓C：x2+(y-2b)2=

27

4

相切．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在圓C與橢圓E上運(yùn)動(dòng)，求|PQ|取得最大值時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由題意得

c

a

=

3

2

，再由c²=a²-b²得a=2b，c=

3

b，由截距式可直線l的方程，根據(jù)l與圓相切得d=r，由此可求得b值，進(jìn)而得a值；
（2）連接PQ，CP，CQ，則有|PQ|≤|CP|+|CQ|=

3 3

2

+|CQ|，易知當(dāng)P，C，Q三點(diǎn)共線且P，Q在C異端時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)|CQ|取得最大值時(shí)，|PQ|取得最大值，設(shè)Q（x₀，y₀），得

x02

4

+y02=1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求|CQ|=

x02+(y0-2)2

=

4-4y02+(y0-2)2

取得最大值時(shí)y₀的值，代入橢圓方程可得x₀，即得|PQ|取得最大值時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）依題意得e=

c

a

=

3

2

，c²=a²-b²，解得a=2b，c=

3

b，
所以A（0，-b），F(xiàn)（

3

b，0），
所以直線l的方程為：

x

3 b

+

y

-b

=1，即x-

3

y-

3

b=0，
因?yàn)橹本�l與圓C：x2+(y-2b)2=

27

4

相切，
所以

|0-2 3 b- 3 b|

2

=

3 3

2

，解得b=1，a=2，
所以橢圓E的方程為：

x2

4

+y2=1；
（2）連接PQ，CP，CQ，則有|PQ|≤|CP|+|CQ|=

3 3

2

+|CQ|（當(dāng)且僅當(dāng)P，C，Q三點(diǎn)共線且P，Q在C異端時(shí)等號(hào)成立），
所以當(dāng)|CQ|取得最大值時(shí)，|PQ|取得最大值，
設(shè)Q（x₀，y₀），得

x02

4

+y02=1，
又C（0，2），則|CQ|=

x02+(y0-2)2

=

4-4y02+(y0-2)2

=

-3(y0+ 2 3 )2+ 28 3

，
因?yàn)閥₀∈[-1，1]，-1＜-

2

3

＜1，所以當(dāng)y0=-

2

3

時(shí)|CQ|取得最大值，
把y0=-

2

3

代入

x2

4

+y2=1中，解得x0=±

2 5

3

，
所以|PQ|取得最大值時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（±

2 5

3

，-

2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓與橢圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系，兩點(diǎn)距離公式，二次函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、運(yùn)算求解、轉(zhuǎn)化與化歸以及分析與解決問(wèn)題的能力．