【題目】已知橢圓：的離心率為，左右頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)為，為橢圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交軸與點(diǎn)，試探究是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過定點(diǎn).

【答案】（1）；（2）存在.

【解析】

（1）由當(dāng)在軸時(shí)，面積最大，得，然后結(jié)合求解即可；

（2）先設(shè)，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，然后求出以為直徑的圓的方程，再結(jié)合在橢圓上，代入方程整理得圓的方程為，然后令，求解即可.

解：（1）由題意知，當(dāng)在軸時(shí)，面積最大，

所以①，

又②，

聯(lián)立①②，得，，，

所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)，其中，則，，

所以直線的方程為，

令，得，即，

又，所以直線的方程為，

令，得，即，

所以，以為直徑的圓的方程為：

，

又，

且在橢圓上，

所以，

代入方程整理得圓的方程為

，

令，

則，

所以存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知等邊與直角梯形所在的平面互相垂直，且，，，.

（1）證明：直線平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】某水果批發(fā)商經(jīng)銷某種水果（以下簡稱水果），購入價(jià)為300元/袋，并以360元/袋的價(jià)格售出，若前8小時(shí)內(nèi)所購進(jìn)的水果沒有售完，則批發(fā)商將沒售完的水果以220元/袋的價(jià)格低價(jià)處理完畢（根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，2小時(shí)內(nèi)完全能夠把水果低價(jià)處理完，且當(dāng)天不再購入）.該水果批發(fā)商根據(jù)往年的銷量，統(tǒng)計(jì)了100天水果在每天的前8小時(shí)內(nèi)的銷售量，制成如下頻數(shù)分布條形圖.

記表示水果一天前8小時(shí)內(nèi)的銷售量，表示水果批發(fā)商一天經(jīng)營水果的利潤，表示水果批發(fā)商一天批發(fā)水果的袋數(shù).

（1）若，求與的函數(shù)解析式；

（2）假設(shè)這100天中水果批發(fā)商每天購入水果15袋或者16袋，分別計(jì)算該水果批發(fā)商這100天經(jīng)營水果的利潤的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，每天應(yīng)購入水果15袋還是16袋？

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【題目】為進(jìn)一步深化“平安校園”創(chuàng)建活動(dòng)，加強(qiáng)校園安全教育宣傳，某高中對(duì)該校學(xué)生進(jìn)行了安全教育知識(shí)測試（滿分100分），并從中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的成績，經(jīng)過數(shù)據(jù)分析得到如圖1所示的頻數(shù)分布表，并繪制了得分在以及的莖葉圖，分別如圖23所示．

成績

頻數(shù)

5

30

40

50

45

20

10

圖1

（1）求這200名同學(xué)得分的平均數(shù)；（同組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點(diǎn)值作代表）

（2）如果變量滿足且，則稱變量“近似滿足正態(tài)分布的概率分布”．經(jīng)計(jì)算知樣本方差為210，現(xiàn)在取和分別為樣本平均數(shù)和方差，以樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，如果該校學(xué)生的得分“近似滿足正態(tài)分布的概率分布”，則認(rèn)為該校的校園安全教育是成功的，否則視為不成功．試判斷該校的安全教育是否成功，并說明理由．

（3）學(xué)校決定對(duì)90分及以上的同學(xué)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，為了體現(xiàn)趣味性，采用抽獎(jiǎng)的方式進(jìn)行，其中得分不低于94的同學(xué)有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，低于94的同學(xué)只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金及對(duì)應(yīng)的概率分別為：

獎(jiǎng)金

50

100

概率

現(xiàn)在從不低于90同學(xué)中隨機(jī)選一名同學(xué)，記其獲獎(jiǎng)金額為，以樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

（參考數(shù)據(jù)：）

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【題目】如圖，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，平面，，分別是棱，的中點(diǎn)．

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（2）若，求平面將三棱錐分成的兩部分的體積中較大部分的體積．

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【題目】已知橢圓：，圓：，一動(dòng)圓在軸右側(cè)與軸相切，同時(shí)與圓相外切，此動(dòng)圓的圓心軌跡為曲線，橢圓與曲線有相同的焦點(diǎn).

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)曲線與橢圓相交于第一象限點(diǎn)，且，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（3）在（2）的條件下，如果橢圓的左頂點(diǎn)為，過且垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線，與直線：分別交于，兩點(diǎn)，證明：四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn).

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【題目】已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的菱形的面積為，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，當(dāng)時(shí)，的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由.

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【題目】“難度系數(shù)”反映試題的難易程度，難度系數(shù)越大，題目得分率越高，難度也就越�。�“難度系數(shù)”的計(jì)算公式為，其中，為難度系數(shù)，為樣本平均失分，為試卷總分（一般為100分或150分）．某校高三年級(jí)的李老師命制了某專題共5套測試卷（每套總分150分），用于對(duì)該校高三年級(jí)480名學(xué)生進(jìn)行每周測試．測試前根據(jù)自己對(duì)學(xué)生的了解，預(yù)估了每套試卷的難度系數(shù)，如下表所示：

試卷序號(hào)

1

2

3

4

5

考前預(yù)估難度系數(shù)

0.7

0.64

0.6

0.6

0.55

測試后，隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：

試卷序號(hào)

1

2

3

4

5

實(shí)測平均分

102

99

93

93

87

（1）根據(jù)試卷2的難度系數(shù)估計(jì)這480名學(xué)生第2套試卷的平均分；

（2）從抽樣的50名學(xué)生的5套試卷中隨機(jī)抽取2套試卷，記這2套試卷中平均分超過96分的套數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）試卷的預(yù)估難度系數(shù)和實(shí)測難度系數(shù)之間會(huì)有偏差．設(shè)為第套試卷的實(shí)測難度系數(shù)，并定義統(tǒng)計(jì)量，若，則認(rèn)為本專題的5套試卷測試的難度系數(shù)預(yù)估合理，否則認(rèn)為不合理．試檢驗(yàn)本專題的5套試卷對(duì)難度系數(shù)的預(yù)估是否合理．

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