Question

【題目】已知集合是集合 的一個(gè)含有個(gè)元素的子集.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí),

設(shè)

（i）寫出方程的解；

（ii）若方程至少有三組不同的解,寫出的所有可能取值.

（Ⅱ）證明:對(duì)任意一個(gè),存在正整數(shù)使得方程 至少有三組不同的解.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（）,（）；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）（）利用列舉法可得方程的解有: ；（）列出集合的從小到大個(gè)數(shù)中相鄰兩數(shù)的差，中間隔一數(shù)的兩數(shù)差，中間相隔二數(shù)的兩數(shù)差，…中間隔一數(shù)的兩數(shù)差,可發(fā)現(xiàn)只有出現(xiàn)次, 出現(xiàn)次,其余都不超過次,從而可得結(jié)果；（Ⅱ）不妨設(shè)記, ,共個(gè)差數(shù)，假設(shè)不存在滿足條件的，根據(jù)的取值范圍可推出矛盾，假設(shè)不成立，從而可得結(jié)論.

假設(shè)不存在滿足條件的,則這個(gè)數(shù)中至多兩個(gè)、兩個(gè)、兩個(gè)、兩個(gè)、兩個(gè)、兩個(gè),.

試題解析：（Ⅰ）（）方程的解有:

（）以下規(guī)定兩數(shù)的差均為正,則:

列出集合的從小到大個(gè)數(shù)中相鄰兩數(shù)的差: ;

中間隔一數(shù)的兩數(shù)差（即上一列差數(shù)中相鄰兩數(shù)和）:4,5,6,6,5,4;

中間相隔二數(shù)的兩數(shù)差: ;

中間相隔三數(shù)的兩數(shù)差: ;

中間相隔四數(shù)的兩數(shù)差: ;

中間相隔五數(shù)的兩數(shù)差: ;

中間隔一數(shù)的兩數(shù)差: .

這個(gè)差數(shù)中,只有出現(xiàn)次, 出現(xiàn)次,其余都不超過次,

所以的可能取值有.

（Ⅱ）證明:不妨設(shè)

記, ,共個(gè)差數(shù).

假設(shè)不存在滿足條件的,則這個(gè)數(shù)中至多兩個(gè)、兩個(gè)、兩個(gè)、兩個(gè)、兩個(gè)、兩個(gè),從而

又

這與矛盾,所以結(jié)論成立.