Question

2．已知a=${∫}_{-1}^{1}$5x${\;}^{\frac{2}{3}}$dx，則二項(xiàng)式（$\sqrt{t}$-$\frac{a}{6t}$）^a展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是15．（填數(shù)值）

Answer 1

分析 求定積分得到a值，然后寫出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，由x得指數(shù)為0求得r值，則答案可求．

解答 解：∵a=${∫}_{-1}^{1}$5x${\;}^{\frac{2}{3}}$dx=$3{x}^{\frac{5}{3}}$${|}_{-1}^{1}$=6．
∴（$\sqrt{t}$-$\frac{a}{6t}$）^a =（$\sqrt{t}$-$\frac{1}{t}$）⁶ ，
由${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}（\sqrt{t}）^{6-r}（-\frac{1}{t}）^{r}=（-1）^{r}{C}_{6}^{r}{t}^{\frac{6-3r}{2}}$，
取6-3r=0，得r=2．
∴二項(xiàng)式（$\sqrt{t}$-$\frac{a}{6t}$）^a展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是${C}_{6}^{2}=15$．
故答案為：15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查定積分的求法，考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，是中檔題．