Question

【題目】設(shè)為常數(shù)，函數(shù)，給出以下結(jié)論：

（1）若，則存在唯一零點

（2）若，則

（3）若有兩個極值點，則

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A. 3B. 2C. 1D. 0

Answer 1

【答案】A

【解析】

（1）先根據(jù)函數(shù)存在零點，得到方程有實根，再令，將問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖像與直線有交點即可，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性和最值，即可得出結(jié)論成立；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，可判斷當(dāng)時，在上恒成立，從而可得在上恒成立，即可得出結(jié)論成立；

（3）先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題意得到，再將函數(shù)有兩極值點，轉(zhuǎn)化為方程有兩不等式實根來處理，用導(dǎo)數(shù)的方法研究其單調(diào)性，和值域，進(jìn)而可得出結(jié)論成立.

（1）若函數(shù)存在零點，只需方程有實根，即方程有實根，令，則只需函數(shù)圖像與直線有交點即可.

又，由可得；由可得；

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故，

因此，當(dāng)時，直線與圖像僅有一個交點，即原函數(shù)只有一個零點，所以（1）正確；

（2）由（1）可知，當(dāng)時，在上恒成立，

即在上恒成立，即在上恒成立；故（2）正確；

（3）因為，所以，

若有兩個極值點，則，所以，

又由有兩個極值點，可得方程有兩不等實根，即方程有兩不等式實根，令，則，

由得；由得；

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，又當(dāng)時，；當(dāng)時，；

所以方程有兩不等式實根，只需直線與函數(shù)的圖像有兩不同交點，故；所以，即（3）正確.

故選A