Question

數(shù)列{a_n}首項a₁=1，前n項和S_n滿足等式2tS_n-（2t+1）S_n-1=2t（常數(shù)t＞0，n=2，3，4…）
（1）求證：{a_n}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為f（t），作數(shù)列{b_n}使b1=1，bn=f(

1

bn-1+2

)-2（n=2，3，4…），求數(shù)列{b_n}的通項公式．
（3）設(shè)c_n=nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由2tS_n-（2t+1）S_n-1=2t，得2tS_n+1-（2t+1）S_n=2t，兩式相減可得n≥2時的遞推式，注意驗證

a2

a1

是否適合；
（2）由（1）可知f（t），由題意可得數(shù)列{b_n}的遞推式，根據(jù)遞推式可判斷其為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式可得其通項；
（3）表示出c_n，然后利用錯位相減法可求得T_n．

解答：（1）證明：由2tS_n-（2t+1）S_n-1=2t，得2tS_n+1-（2t+1）S_n=2t，
兩式相減得2t（S_n+1-S_n）-（2t+1）（S_n-S_n-1）=0，
故n≥2時，2ta_n+1-（2t+1）a_n=0，
從而

an+1

an

=1+

1

2t

，
又2tS₂-（2t+1）S₁=2t，即2t（a₁+a₂）-（2t+1）=2t，而a₁=1．
從而a2=

2t+1

2t

，故

a2

a1

=1+

1

2t

，
∴對任意n∈N^*，

an+1

an

=1+

1

2t

為常數(shù)，即{a_n}為等比數(shù)列；
（2）解：f(t)=1+

1

2t

，bn=1+

1

2• 1 bn-1+2

-2=

1

2

bn-1，
又b₁=1．故{b_n}為等比數(shù)列，通項公式為bn=(

1

2

)n-1；
（3）解：Cn=n•(

1

2

)n-1，
Tn=1+2•

1

2

+3•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n-1，
兩邊同乘以

1

2

，得

1

2

Tn=

1

2

+2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n，
兩式相減得

1

2

Tn=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n=2(1-

1

2n

)-

n

2n

，
∴Tn=4(1-

1

2n

)-

n

2n-1

=4-

2+n

2n-1

．

點評：本題考查等比數(shù)列的通項公式、錯位相減法對數(shù)列求和，考查學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力．