Question

20．已知關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-m|≥2m的解集為R．
（Ⅰ）求m的最大值；
（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a²+9b²+c²的最小值及此時a，b，c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用|x-3|+|x-m|≥|（x-3）-（x-m）|=|m-3|，對x與m的范圍討論即可．
（Ⅱ）構(gòu)造柯西不等式即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵|x-3|+|x-m|≥|（x-3）-（x-m）|=|m-3|
當(dāng)3≤x≤m，或m≤x≤3時取等號，
令|m-3|≥2m，
∴m-3≥2m，或m-3≤-2m．
解得：m≤-3，或m≤1
∴m的最大值為1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=1．
由柯西不等式：（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$+1）（ 4a²+9b²+c²）≥（a+b+c）²=1，
∴4a²+9b²+c²≥$\frac{36}{49}$，等號當(dāng)且僅當(dāng)4a=9b=c，且a+b+c=1時成立．
即當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{9}{49}$，b=$\frac{4}{49}$，c=$\frac{36}{49}$時，4a²+9b²+c²的最小值為$\frac{36}{49}$．

點評 本題主要考查了絕對值不等式的幾何意義和解法以及柯西不等式的構(gòu)造思想．屬于中檔題．