Question

設(shè)A，B分別為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且直線x=4是它的右準(zhǔn)線．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為橢圓右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線BP于橢圓相交于兩點(diǎn)B，N，求證：∠NAP為銳角．

Answer 1

分析：（I）利用已知和a，b，c的關(guān)系即可得出；
（II）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），設(shè)N（x₀，y₀），由于N點(diǎn)在橢圓上，可得

y

2 0

=

3

4

(4-

x

2 0

)，
又N點(diǎn)異于頂點(diǎn)A、B，得出-2＜x₀＜2，y₀≠0．由P、B、N三點(diǎn)共線可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，只要證明

AN

•

AP

＞0即可．

解答：解：（Ⅰ）依題意得

a=2c a2 c =4

，解得

a=2 c=1

，
從而b=

a2-c2

=

3

．
故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），設(shè)N（x₀，y₀），
∵N點(diǎn)在橢圓上，∴

y

2 0

=

3

4

(4-

x

2 0

)①
又N點(diǎn)異于頂點(diǎn)A、B，∴-2＜x₀＜2，y₀≠0
由P、B、N三點(diǎn)共線可得P(4，

2y0

x0-2

)，
從而

AN

=(x0+2，y0)，

AP

=(6，

2y0

x0-2

)．

AN

•

AP

=6x0+12+

2 y 2 0

x0-2

②

AN

•

AP

=6x0+12-

3

2

(2+x0)=

9

2

(x0+2)．
∵x₀+2＞0，y₀≠0，∴

AN

•

AP

＞0
于是∠NAP為銳角．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三點(diǎn)共線斜率相等、向量夾角為銳角與數(shù)量積的關(guān)系等是解題的關(guān)鍵．