Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在坐標軸上，短軸的一個端點為B（0，4），離心率．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），試探究在橢圓C內部是否存在整點Q（平面內橫、縱坐標均為整數的點稱為整點），使得△OPQ的面積S_△OPQ=4？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

Answer 1

解：（I）設橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），
根據題意b=4，=，∵a²=b²+c²
∴a=5，c=3
∴橢圓的方程是+=1
（II）|OP|=2，直線OP的方程是y=x，
設與直線OP平行的直線方程為y=x+m，
∵S_△OPQ=4，∴d==2?m=±4
∴Q點在直線 y=x±4上，
當m=4時，?41x²+200x＜0?-＜x＜0，
∵x∈Z，∴x=-4，-3，-2，-1分別對應有四個整數點；
當m=-4時，由對稱性，同理滿足條件的點Q也有四個，
綜上，存在滿足條件的整數點有8個．
分析：（I）根據橢圓的端點坐標與離心率，求出a、b，即可得橢圓的標準方程．
（II）根據三角形的面積，Q點應在與OP平行的直線上，利用直線與橢圓方程求出Q點的坐標滿足的條件，再分析求滿足條件的整數點．
點評：本題借助存在性問題考查直線與圓錐曲線的位置關系．存在性問題的解題思路是：假設存在，根據條件求解，若解出，說明存在；若得出矛盾或解不出，則說明不存在．