Question

（本題滿分14分）

如圖，已知是棱長(zhǎng)為的正方體，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且．

（1）求證：四點(diǎn)共面；（4分）

（2）若點(diǎn)在上，，點(diǎn)在上，，垂足為，求證：平面；（4分）

（3）用表示截面和側(cè)面所成的銳二面角的大小，求．（4分

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）略

（2）略

（3）；

【解析】（1）如圖，在上取點(diǎn)，使，連結(jié)， 

，則，．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052304280420313975/SYS201205230429351875278050_DA.files/image009.png">，，所以四邊形，都為平行四邊形．

從而，．

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052304280420313975/SYS201205230429351875278050_DA.files/image015.png">，所以，故四邊形是平行四邊形，

由此推知，從而．

因此，四點(diǎn)共面．

（2）如圖，，又，所以，

．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052304280420313975/SYS201205230429351875278050_DA.files/image026.png">，所以為平行四邊形，從而．

又平面，所以平面．

（3）如圖，連結(jié)

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052304280420313975/SYS201205230429351875278050_DA.files/image033.png">，，

所以平面，得．

于是是所求的二面角的平面角，即．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052304280420313975/SYS201205230429351875278050_DA.files/image040.png">，所以

，

．

解法二：

（1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，

所以，故，，共面．

又它們有公共點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面．

（2）如圖，設(shè)，則，

而，由題設(shè)得，

得．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052304280420313975/SYS201205230429351875278050_DA.files/image057.png">，，有，

又，，所以，

，從而，．

故平面．

（3）設(shè)向量截面，

于是，．

而，，得，

，解得，，所以．

又平面，

所以和的夾角等于或（為銳角）．

于是．

故．