Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，E是PC的中點，底面ABCD為矩形，AB=4，AD=2，△PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE與棱PD交于點F，平面PCD與平面PAB交于直線l．
（1）求證：l∥EF；
（2）求三棱錐P-AEF的體積．

Answer 1

分析 （1）作EF∥CD交PD于F，則利用線面平行的性質(zhì)證明AB∥l，再利用平行公理得出AB∥EF即可得出結(jié)論；
（2）由面面垂直可證EF⊥平面PAD，則V_P-AEF=V_E-PAF=$\frac{1}{3}{S}_{△PAF}•EF$．

解答 證明：（1）過F作EF∥CD交PD于F，連接EF，AF，
∵E是PC的中點，∴F是PD的中點，
又CD∥AB，
∴EF∥AB，
∵AB∥CD，CD?平面PAC，AB?平面PCD，
∴AB∥平面PCD，又AB?平面PAB，平面PAB∩平面PCD=l，
∴AB∥l，
∴l(xiāng)∥EF．
解：（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD，又CD∥EF，
∴EF⊥平面PAD，
∵底面ABCD為矩形，△PAD為正三角形，AD=2，AB=4，
∴EF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=2，S_△PAF=$\frac{1}{2}$S_△PAD=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×4$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴V_P-AEF=V_E-PAF=$\frac{1}{3}{S}_{△PAF}•EF$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了線面平行的性質(zhì)與判斷，棱錐的體積計算，屬于中檔題．