解:(1)由f'(t)=0,
得(a
n-a
n-1)t=a
n+1-a
n(n≥2)
又a
2-a
1=t(t-1),t≠0且t≠1,
∴a
2-a
1≠0,
∴
∴數(shù)列{a
n+1-a
n}是首項為t
2-t,公比為t的等比數(shù)列
(2)由(1)知a
n+1-a
n=t
n+1-t
n,
∴a
n-a
n-1=t
n-t
n-1,
∴a
n-1-a
n-2=t
n-1-t
n-2,
…
a
2-a
1=t
2-t,
上面n-1個等式相等并整理得a
n=t
n.(t≠0且t≠1)
b
n=a
nln|a
n|=t
n•ln|t
n|=nt
n•ln|t|.
∴S
n=(t+2•t
2+3•t
3++n•t
n)ln|t|,
tS
n=[t
2+2•t
3++(n-1)t
n+n•t
n+1]ln|t|,
兩式相減,并整理得
(3)∵
∴當n為偶數(shù)時,b
n=nt
nln|t|<0;
當n為奇數(shù)時,b
n=nt
nln|t|>0,∴最大項必須為奇數(shù)項
設最大項為:b
2k+1,則有
即:
整理得
將
代入上式,解得
∵k∈N
+∴k=2,即數(shù)列{b
n}中的最大項是第5項
分析:(1)根據(jù)當x=t時,f(x)=
(a
n-a
n-1)x
2-(a
n+1-a
n)x(n≥2)取得極值,求導,得到f'(t)=0,即a
n-a
n-1)t=a
n+1-a
n(n≥2)整理可證;
(2)由(1),利用累加法即可求得數(shù)列{a
n}的通項公式,可求數(shù)列{b
n}的通項公式,再利用錯位相減法求和;
(3)根據(jù)(2)去絕對值符號,對n分奇偶討論,解不等式組即可證明結(jié)果.
點評:此題是個難題.考查等比數(shù)列的定義和通項公式,累加法求數(shù)列通項公式以及錯位相減法求數(shù)列的前n項和,體現(xiàn)了分類討論的思想.其中問題(3)是一個開放性問題,考查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力.