Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x＞-1，n∈N⁺時(shí)，（1+x）ⁿ≥1+nx．

Answer 1

解：因?yàn)椋?+x）ⁿ≥1+nx為關(guān)于n的不等式，x為參數(shù)，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（�。┊�(dāng)n=1時(shí)，原不等式成立；
當(dāng)n=2時(shí)，左邊=1+2x+x²，右邊=1+2x，
因?yàn)閤²≥0，所以左邊≥右邊，原不等式成立；
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即（1+x）^k≥1+kx，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
∵x＞-1，
∴1+x＞0，于是在不等式（1+x）^k≥1+kx兩邊同乘以1+x得
（1+x）^k•（1+x）≥（1+kx）•（1+x）=1+（k+1）x+kx²≥1+（k+1）x，
所以（1+x）^k+1≥1+（k+1）x．即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
綜合（�。�（ⅱ）知，對(duì)一切正整數(shù)n，不等式都成立．
分析：要證明當(dāng)x＞-1時(shí)，（1+x）ⁿ≥1+nx，先證明n=1時(shí)，（1+x）ⁿ≥1+nx成立，再假設(shè)n=k時(shí)，（1+x）ⁿ≥1+nx成立，進(jìn)而證明出n=k+1時(shí)，（1+x）ⁿ≥1+nx也成立，即可得到對(duì)于任意正整數(shù)n：當(dāng)x＞-1時(shí)，（1+x）ⁿ≥1+nx．
點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．