Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁=2，n•a_n+1=S_n+n（n+1），
（1）證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求其通項公式；
（2）令T_n=

Sn

2n

，①當(dāng)n為何正整數(shù)值時，T_n＞T_n+1：
②若對一切正整數(shù)n，總有T_n≤m，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用n•a_n+1=S_n+n（n+1），再寫一式兩式相減，即可證明數(shù)列{a_n}為首項為2，公差為2的等差數(shù)列，從而可求其通項公式；
（2）①利用T_n＞T_n+1，即可求出n的值；
②確定各項中數(shù)值最大為

3

2

，從而求m的取值范圍．

解答： （1）證明：令n=1時，1•a₂=S₁+1•2，即a₂-a₁=2，
∵n•a_n+1=S_n+n（n+1），
∴n≥2時，（n-1）•a_n=S_n-1+n（n-1），
兩式相減整理得：a_n+1-a_n=2，
∵a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}為首項為2，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=2n；
（2）解：①T_n=

Sn

2n

=

n(n+1)

2n

＞T_n+1=

(n+1)(n+2)

2n+1

，
∴n＞2；
②∵T₁=1，T₂=T₃=

3

2

，T_n＞T_n+1，
∴各項中數(shù)值最大為

3

2

，
∵對一切正整數(shù)n，總有T_n≤m，
∴m≥

3

2

．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項與求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．