Question

5．已知函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）（ a＞0，a≠1 ）
（1）討論函數(shù)f（x）的定義域；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，解關(guān)于x的不等式：f（x）＜f（1）；
（3）當(dāng)a=2時(shí)，不等式f（x）-log₂（1+2^x）＞m對任意實(shí)數(shù)x∈[1，3]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a^x-1＞0，得a^x＞1 下面分類討論：當(dāng)a＞1時(shí)，x＞0；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＜0即可求得f（x）的定義域
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解答即可；
（3）令g（x）=f（x）-log₂（1+2^x）=log₂（1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}）$在[1，3]上是單調(diào)增函數(shù)，只需求出最小值即可．

解答 解：（1）由a^x-1＞0，得a^x＞1．（1分）
當(dāng)a＞1時(shí)，x＞0；（2分）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＜0．（3分）
所以f（x）的定義域是當(dāng)a＞1時(shí)，x∈（0，+∞）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x∈（-∞，0）．（4分）
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，（5分）
則ax1＜ax2，所以ax1-1＜ax2-1．（6分）
因?yàn)閍＞1，所以loga（ax1-1）＜loga（ax2-1），即f（x₁）＜f（x₂）．（8分）
故當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
∵f（x）＜f（1）；
∴a^x-1＜a-1，
∵a＞1，
∴x＜1；
（3）∵令g（x）=f（x）-log₂（1+2^x）=log₂（1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}）$在[1，3]上是單調(diào)增函數(shù)，
∴g（x）_min=-log₂3，
∵m＜g（x），
∴m＜-log₂3．

點(diǎn)評 本題主要考查對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域、單調(diào)性、值域的問題，屬于中檔題．