Question

2．在直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．
（1）求出圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知圓C與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，若直線l：y=2x+2m上存在點(diǎn)P使得∠APB=90°，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （1）由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ，利用互化公式可得圓C的普通方程與標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）l：的方程為y=2x+2m，而AB為圓C的直徑，故直線l上存在點(diǎn)P使得∠APB=90°的充要條件是直線l與圓C有公共點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 解：（1）由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ，即x²+y²-4x=0，
即圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+y²=4．
（2）l：的方程為y=2x+2m，而AB為圓C的直徑，
故直線l上存在點(diǎn)P使得∠APB=90°的充要條件是直線l與圓C有公共點(diǎn)，
故$\frac{{|{4+2m}|}}{{\sqrt{5}}}≤2$，于是，實(shí)數(shù)m的最大值為$\sqrt{5}-2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．