【題目】如圖,已知三棱錐PABC中,PA平面ABC,ABAC,且PAl,ABAC2,點D滿足,.

1)當(dāng),求二面角PBDC的余弦值;

2)若直線PC與平面PBD所成角的正弦值為,求的值.

【答案】12

【解析】

1)由題意,以為正交基底,建立空間直角坐標(biāo)系Axyz,求出各點的坐標(biāo),進(jìn)而求出平面的法向量,然后利用空間向量求解二面角的大;

2)利用線面角的向量求法可得,解出即可.

解:(1)∵PA⊥平面ABC,

APABAPAC,

ABAC,

∴以為正交基底,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Axyz,

PA1,ABAC2

A(0,0,0),B(20,0),C(02,0),P(0,0,1)

,即D,

,,

設(shè)平面PBD的法向量為

,取,

當(dāng)時,,又可取為平面BDC的一個法向量,

由圖可知二面角PBDC的余弦值為;

2,平面PBD的一個法向量為,

設(shè)直線PC與平面PBD所成角為,

,

結(jié)合題設(shè),得,即,

解得

,

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