分析 (1)求出${f}^{'}(x)=\frac{1}{x}-\frac{7a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-7a}{{x}^{2}}$,x>0,根據(jù)a≤0和a>0兩種情況分類討論,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(2)根據(jù)a≤0、a≥$\frac{{e}^{2}}{7}$、$\frac{e}{7}<a<\frac{{e}^{2}}{7}$三種情況分類討論,結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的值.
解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=lnx+$\frac{7a}{x}$,a∈R,
∴${f}^{'}(x)=\frac{1}{x}-\frac{7a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-7a}{{x}^{2}}$,x>0,
當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,
∴f(x)遞增,f(x)值域?yàn)镽,此時(shí)函數(shù)y=f(x)在其定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(0,7a)內(nèi)遞減,在(7a,+∞)內(nèi)遞增,
∵f(x)在其定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),
∴f(7a)=ln(7a)+$\frac{7a}{7a}=0$,解得a=$\frac{1}{7e}$.
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0]∪{$\frac{1}{7e}$}.
(2)當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)遞增,∴函數(shù)f(x)在[e,e2]上的最小值為f(e),
∵函數(shù)y=f(x)在[e,e2]上的最小值為3,∴f(e)=1+$\frac{7a}{e}$=3,
此時(shí)a無解.
若a≥$\frac{{e}^{2}}{7}$,則f(x)在[e,e2]遞減,∴函數(shù)f(x)在[e,e2]上的最小值為f(e2),
∵函數(shù)y=f(x)在[e,e2]上的最小值為3,
∴f(e2)=2+$\frac{7a}{{e}^{2}}$=3,解得a=$\frac{{e}^{2}}{7}$.
若$\frac{e}{7}<a<\frac{{e}^{2}}{7}$,則f(x)在[e,e2]的最小值為f(7a),
∵函數(shù)y=f(x)在[e,e2]上的最小值為3,
∴f(7a)=ln(7a)+1=2,此時(shí)無解.
綜上,a=$\frac{{e}^{2}}{7}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,考查實(shí)數(shù)值的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 有最小值3,無最大值 | B. | 有最小值5,無最大值 | ||
C. | 有最大值3,無最小值 | D. | 有最大值5,無最小值 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | c<a<b | B. | a<b<c | C. | b<a<c | D. | a<c<b |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | ρ=8sin(θ-$\frac{π}{4}$) | B. | ρ=8cos(θ-$\frac{π}{4}$) | ||
C. | ρ2-4ρcos(θ-$\frac{π}{4}$)+3=0 | D. | ρ2-4ρsin(θ-$\frac{π}{4}$)+3=0 |
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