設(shè)函數(shù)f(x)=ex(e為自然對數(shù)的底數(shù)),g(x)=x2-x,記h(x)=f(x)+g(x).
(1)h′(x)為h(x)的導(dǎo)函數(shù),判斷函數(shù)y=h′(x)的單調(diào)性,并加以證明;
(2)若函數(shù)y=|h(x)-a|-1=0有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.
解:(1)h(x)=f(x)+g(x)=e
x+x
2-x,∴h'(x)=e
x+2x-1,
令F(x)=h'(x),則F'(x)=e
x+2>0,
∴F(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,即h'(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)由(1)知h'(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,而h'(0)=0,
∴h'(x)=0有唯一解x=0,x,h'(x),h(x)的變化情況如下表所示:
x | (-∞,0) | 0 | (0,+∞) |
h'(x) | - | 0 | + |
h(x) | 遞減 | 極小值 | 遞增 |
又∵函數(shù)y=|h(x)-a|-1有兩個零點,
∴方程|h(x)-a|-1=0有兩個根,即方程h(x)=a±1有兩個根
而a+1>a-1,∴a-1<(h(x))
min=h(0)=1且a+1>(h(x))
min=h(0)=1,
解得0<a<2.
所以,若函數(shù)y=|h(x)-a|-1有兩個零點,實數(shù)a的取值范圍是(0,2)
分析:(1)由函數(shù)y=h(x)求出它的導(dǎo)函數(shù)h′(x),令F(x)=h'(x),可根據(jù)其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),即可得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可.
(2)由(1)知h'(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,由導(dǎo)數(shù)法,可得h(x)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)y=|h(x)-a|-1有兩個零點,從而有方程|h(x)-a|-1=0有兩個根,即方程h(x)=a±1有兩個根,利用函數(shù)h(x)的最小值建立關(guān)于a的不等關(guān)系,即可得實數(shù)a的取值范圍.
點評:考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)能力,函數(shù)單調(diào)性的判定,根的存在性及根的個數(shù)判斷,其中熟練掌握函數(shù)零點與方程根之間的對應(yīng)關(guān)系是解答的關(guān)鍵.