Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象如圖所示，且與y=0在原點(diǎn)相切，若函數(shù)的極小值為-4．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函數(shù)的遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線(xiàn)斜率，切點(diǎn)在切線(xiàn)上，列方程解；
（2）導(dǎo)函數(shù)大于0對(duì)應(yīng)區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間；導(dǎo)函數(shù)小于0對(duì)應(yīng)區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）由題意知f（0）=0
∴c=0
∴f（x）=x³+ax²+bx  f'（x）=3x²+2ax+b
又∵f'（x）=b=0
∴f'（x）=3x²+2ax=0
故極小值點(diǎn)為x=-$\frac{2a}{3}$，
∴f（-$\frac{2a}{3}$）=-4，∴${（-\frac{2}{3}a）}^{3}$+a${（-\frac{2}{3}a）}^{2}$=-4，
解得：a=-3；
（2）令f'（x）＜0  即：3x²-6x＜0，
解得：0＜x＜2，
∴函數(shù)的遞減區(qū)間為（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，要注意從圖象中得到有價(jià)值的結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題．