Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b是不同時為零的常數(shù)），其導(dǎo)函數(shù)為f'（x）．
（1）當(dāng)時，若不等式對任意x∈R恒成立，求b的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，關(guān)于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，將不等式對任意x∈R恒成立，轉(zhuǎn)化為x²+2bx+b＞0恒成立，利用判別式，即可確定b的取值范圍；
（2）先確定函數(shù)的解析式，確定f（x）的單調(diào)性，由f（x）=0解得x=±1，x=0；
法一：作y=f（x）與的圖象，若只有一個交點(diǎn)，結(jié)合圖象分類討論；
法二：作y=f（x）與的圖知交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，x=0，當(dāng)時，過圖象上任意一點(diǎn)向左作平行于x軸的直線與y=f（x）都只有唯一交點(diǎn)，當(dāng)x取其它任何值時都有兩個或沒有交點(diǎn)，由此可得結(jié)論．
解答：解：（1）當(dāng)時，，…（1分）
依題意 即x²+2bx+b＞0恒成立
∴△=4b²-4b＜0，解得 0＜b＜1
所以b的取值范圍是（0，1）…（4分）
（2）因為f（x）=ax³+bx²+（b-a）x為奇函數(shù)，所以b=0，所以f（x）=ax³-ax，f'（x）=3ax²-a．
又f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，所以a=1，即f（x）=x³-x．…（6分）
∴f（x）在，上是單調(diào)遞增函數(shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù)，
由f（x）=0解得x=±1，x=0，…（7分）
法一：如圖所示，作y=f（x）與的圖象，若只有一個交點(diǎn)，則
①當(dāng)時，，即，解得；
②當(dāng)時，，解得；③當(dāng)t=0時，不成立；
④當(dāng)時，，即，解得；
⑤當(dāng)時，，解得；
⑥當(dāng)t＞1時，.…（13分）
綜上t的取值范圍是或或．…（14分）
法二：作y=f（x）與的圖知交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，x=0
當(dāng)時，過圖象上任意一點(diǎn)向左作平行于x軸的直線與y=f（x）都只有唯一交點(diǎn)，當(dāng)x取其它任何值時都有兩個或沒有交點(diǎn)．
所以當(dāng)時，方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數(shù)根．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查恒成立問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．