Question

設(shè)

a

=(cosx-sinx，2sinx)，

b

=(cosx+sinx，cosx)，f(x)=

a

•

b

，給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)在區(qū)間[

π

8

，

5π

8

]上是減函數(shù)；
②把f（x）圖象按向量

v

=(-

π

8

，0)平移后得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）是偶函數(shù)；
③存在x∈(0，

π

4

)使f(x)=

2

3

④函數(shù)y=|f（x）|的最小正周期是π；其中正確命題的序號(hào)是

①②

．

Answer 1

分析：根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算法則，結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）．由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式，解關(guān)于x的不等式得到[

π

8

，

5π

8

]是函數(shù)f（x）的一個(gè)減區(qū)間，故①正確；根據(jù)函數(shù)圖象平移公式和誘導(dǎo)公式，可得f（x）圖象按向量

v

=(-

π

8

，0)平移后得到y(tǒng)=

2

cos2x的圖象，是偶函數(shù)故②正確；由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得當(dāng)x∈(0，

π

4

)時(shí)f（x）的最小值大于1，因此③不正確；根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期和y=|sinx|的圖象特征，得到④不正確．

解答：解：∵

a

=(cosx-sinx，2sinx)，

b

=(cosx+sinx，cosx)，
∴f(x)=

a

•

b

=（cosx-sinx）（cosx+sinx）+2sinxcosx=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

）
①∵令2x+

π

4

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]（k∈Z），可得x∈[

π

8

+kπ，

5π

8

+2kπ]（k∈Z）
∴取k=0，得區(qū)間[

π

8

，

5π

8

]是函數(shù)f（x）的一個(gè)減區(qū)間，故①正確；
②把f（x）圖象按向量

v

=(-

π

8

，0)平移后，得到y(tǒng)=f（x+

π

8

）=

2

sin[2（x+

π

8

）+

π

4

]=

2

sin（2x+

π

2

），
即y=

2

cos2x的圖象，所以平移后的圖象為偶函數(shù)，故②正確；
③當(dāng)x∈(0，

π

4

)時(shí)，2x+

π

4

∈（

π

4

，

π

2

），可得sin（2x+

π

4

）∈（

2

2

，1）
∴f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）∈（1，

2

）．故不存在x∈(0，

π

4

)使f(x)=

2

3

，從而③不正確；
④∵f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）的周期為T=

2π

2

=π，
∴y=|f（x）|的周期為

1

2

×π=

π

2

，因此④不正確
綜上所述，可得正確的命題只有①②
故答案為：①②

點(diǎn)評(píng)：本題以向量的數(shù)量積運(yùn)算為載體，求函數(shù)f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）的圖象與性質(zhì)．著重考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．