Question

設(shè)f（x）=-x³+bx²+cx，其導(dǎo)函數(shù)y=f'（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0），(

2

3

 ， 0)．
（Ⅰ）求f（x）的極小值；
（Ⅱ）方程f（x）+p=0有唯一實(shí)數(shù)解，求p的取值范圍；
（Ⅲ）若對(duì)x∈[-3，3]，都有f（x）≥m²-14m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出y=f'（x），因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（-2，0）和(

2

3

 ， 0)，代入即可解出b、c，再根據(jù)圖象可知函數(shù)的單調(diào)性，而f（x）極小值為f（-2）=-8．
（2）由（1）的結(jié)論，求出f（x）的極值，進(jìn)而根據(jù)方程f（x）+p=0有唯一實(shí)數(shù)解，則函數(shù)f（x）的圖象與直線y=-p有且只有一個(gè)交點(diǎn)，確定實(shí)數(shù)P的取值范圍
（3）根據(jù)函數(shù)增減性求出函數(shù)在區(qū)間[-3，3]的最小值大于等于m²-14m，即可求出m的范圍．

解答：解：（1）∵f'（x）=-3x²+2bx+c，且y=f'（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0），(

2

3

 ， 0)．
可知

-12-4b+c=0 - 4 3 + 4 3 b+c=0

解得b=-2，c=4，
當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（

2

3

，+∞）時(shí)，f'（x）＜0
當(dāng)x∈（-2，

2

3

）時(shí)，f'（x）＞0
∴函數(shù)y=f（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞減，在（-2，

2

3

）上單調(diào)遞增，在（

2

3

，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）=-x³-2x²+4x在x=-2時(shí)，
f（x）的極小值=-8
（2）由（1）得x=-2時(shí)，f（x）的極小值為-8，當(dāng)x=

2

3

時(shí)，f（x）的極大值為

40

27

，
若方程f（x）+p=0有唯一實(shí)數(shù)解，
則函數(shù)f（x）的圖象與直線y=-p有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則p＜-

40

27

，或p＞8
（3）要使對(duì)x∈[-3，3]都有f（x）≥m²-14m恒成立，
只需f（x）_min≥m²-14m即可．
由（1）可知函數(shù)y=f（x）在[-3，2）上單調(diào)遞減，在（-2，

2

3

）上單調(diào)遞增，在（

2

3

，3]上單調(diào)遞減
且f（-2）=-8，f（3）=-3³-2×3²+4×3=-33＜-8
∴f（x）_min=f（3）=-33（11分）-33≥m²-14m⇒3≤m≤11
故所求的實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|3≤m≤11}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，理解函數(shù)恒成立時(shí)所取的條件，數(shù)形結(jié)合的思想方法．