(2013•成都一模)對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,定義運(yùn)算?:a?b=
a,a-b≤0
b,a-b>0
設(shè)函數(shù)f(x)=(x2-x+1)?(2x-1),其中x∈R
(I)求f(
3
)的值;
(II)若1≤x≤2,試討論函數(shù)h(x)=
2
3
xf(x)+
1
6
x2-
5
3
x+t
(t∈R)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
分析:(Ⅰ)通過求解不等式得到x2-x+1≤2x-1和x2-x+1>2x-1的x的取值范圍,從而寫出分段函數(shù)f(x),直接代入后可求f(
3
)的值;
(Ⅱ)求函數(shù)h(x)=
2
3
xf(x)+
1
6
x2-
5
3
x+t
(t∈R)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),即求函數(shù)y=
2
3
xf(x)+
1
6
x2-
5
3
x
與函數(shù)y=x的交點(diǎn)個(gè)數(shù),把函數(shù)f(x)的解析式代入后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)y=
2
3
xf(x)+
1
6
x2-
5
3
x
的極值點(diǎn)的情況,根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的情況可得函數(shù)y=
2
3
xf(x)+
1
6
x2-
5
3
x
與函數(shù)y=x的交點(diǎn)個(gè)數(shù),從而得到函數(shù)h(x)=
2
3
xf(x)+
1
6
x2-
5
3
x+t
(t∈R)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
解答:解:(Ⅰ)由x2-x+1≤2x-1,即x2-3x+2≤0,解得:1≤x≤2,此時(shí)f(x)=x2-x+1;
由x2-x+1>2x-1,即x2-3x+2>0,解得:x<1或x>2.
f(x)=
x2-x+1,1≤x≤2
2x-2,x<1或x>2

f(
3
)=(
3
)2-
3
+1=4-
3

(Ⅱ)當(dāng)1≤x≤2時(shí),f(x)=x2-x+1,
h(x)=
2
3
xf(x)+
1
6
x2-
5
3
x+t
=
2
3
x(x2-x+1)+
1
6
x2-
5
3
x+t
=
2
3
x3-
1
2
x2-x+t

g(x)=
2
3
x3-
1
2
x2-x
,
則函數(shù)h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),即為函數(shù)y=g(x)與函數(shù)y=-t的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
由g(x)=2x2-x-1=(2x+1)(x-1).
當(dāng)x∈(1,2)時(shí),g(x)>0,∴g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增.
g(1)=
2
3
×13-
1
2
×12-1=-
5
6
,g(2)=
2
3
×23-
1
2
×22-2=
4
3

∴當(dāng)-
5
6
≤-t≤
4
3
,即-
4
3
≤t≤
5
6
時(shí),函數(shù)h(x)有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)-t<-
5
6
-t>
4
3
,即t>
5
6
t<-
4
3
時(shí),函數(shù)h(x)沒有零點(diǎn).
綜上所述,當(dāng)-
4
3
≤t≤
5
6
時(shí),函數(shù)h(x)有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)t>
5
6
t<-
4
3
時(shí),函數(shù)h(x)沒有零點(diǎn).
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷,一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),就是該函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程的根的個(gè)數(shù),此類問題往往轉(zhuǎn)化為另外兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來解決,是中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•成都一模)某工廠在政府的幫扶下,準(zhǔn)備轉(zhuǎn)型生產(chǎn)一種特殊機(jī)器,生產(chǎn)需要投入固定成本500萬 元,生產(chǎn)與銷售均以百臺(tái)計(jì)數(shù),且每生產(chǎn)100臺(tái),還需增加可變成本1000萬元.若市場對(duì)該 產(chǎn)品的年需求量為500臺(tái),每生產(chǎn)m百臺(tái)的實(shí)際銷售收入近似滿足函數(shù)R(m)=5000m-500m2(0≤m≤5,m∈N)
(I)試寫出第一年的銷售利潤y(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x單位:百臺(tái),x≤5,x∈N*)的函數(shù)關(guān)系式;
(說明:銷售利潤=實(shí)際銷售收人一成本)
(II )因技術(shù)等原因,第一年的年生產(chǎn)量不能超過300臺(tái),若第一年人員的年支出費(fèi)用u(x)(萬元)與年產(chǎn)量x(百臺(tái))的關(guān)系滿足u(x)=500x+500(x≤3,x∈N*,問年產(chǎn)量X為多少百臺(tái)時(shí),工廠所得純利潤最大?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•成都一模)已知
a
=(cosx+sinx, sinx), 
b
=(cosx-sinx, 2cosx)
,設(shè)f(x)=
a
b

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[-
π
4
π
4
]
時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值及最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•成都一模)如圖,在△ABC中,
AH
BC
=0
且AH=1,G為△ABC的 重心,則
GH
AH
=
1
3
1
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•成都一模)如圖,矩形 ABCD 中,BC=2,AB=1,PA丄平面 ABCD,BE∥PA,BE=
1
2
PA,F(xiàn) 為PA的中點(diǎn).
(I)求證:DF∥平面PEC
(II)記四棱錐C一PABE的體積為V1,三棱錐P-ACD的 體積為V2,求
V1
V2
的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•成都一模)已知函數(shù)f(x)=
x2-x+1,x∈[1,2]
2x-1,x∈(-∞,1)∪(2,+∞)

(I)解關(guān)于x的不等式f(x)≤1;
(II)若1≤x≤2,判斷函數(shù)h(x)=2xf(x)-5x2+6x-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案