Question

5．已知拋物線y²=6x的交點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)M，N，與l交于點(diǎn)P，若$\overrightarrow{MF}$=2$\overrightarrow{FN}$，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OP|=（　�。�

• A． $\sqrt{13}$
• B． $\sqrt{63}$
• C． $\frac{4\sqrt{33}}{3}$
• D． $\frac{3\sqrt{33}}{2}$

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線l為x=my+1，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的坐標(biāo)表示，解得m，求出P的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答 解：拋物線y²=6x的焦點(diǎn)為（1.5，0），
設(shè)直線l為x=my+1.5，代入拋物線方程可得，y²-6my-9=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=6m，y₁y₂=-9，
由$\overrightarrow{MF}$=2$\overrightarrow{FN}$，可得y₁=-2y₂，
由代入法，可得m=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴直線l為x=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$y+1.5，
令x=-1.5，可得y=±6$\sqrt{2}$，
∴|OP|=$\sqrt{2.25+72}$=$\frac{3\sqrt{33}}{2}$，
故選D．

點(diǎn)評 本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，主要考查韋達(dá)定理和向量的共線的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．