Question

17．已知橢圓：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$和圓：${x^2}+{y^2}={（\frac{2}+c）^2}（{c^2}={a^2}-{b^2}）$有四個不同的公共點，則橢圓的離心率的取值范圍是（　　）

• A． $（\frac{{\sqrt{5}}}{5}，\frac{3}{5}）$
• B． $（\frac{{\sqrt{2}}}{5}，\frac{{\sqrt{5}}}{5}）$
• C． $（\frac{{\sqrt{2}}}{5}，\frac{3}{5}）$
• D． $（0，\frac{{\sqrt{5}}}{5}）$

Answer 1

分析 由橢圓與圓有四個不同的交點，則滿足b＜$\frac{2}+c$＜a，由橢圓的簡單幾何性質(zhì)，求得$\frac{1}{5}$a²＜c²＜$\frac{9}{25}$a²，根據(jù)橢圓的離心率即可求得橢圓的離心率的取值范圍．

解答 解：由橢圓和圓的幾何性質(zhì)可知，橢圓：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$
和圓：${x^2}+{y^2}={（\frac{2}+c）^2}（{c^2}={a^2}-{b^2}）$有四個不同的公共點，
滿足b＜$\frac{2}+c$＜a，解得：$\frac{^{2}}{4}＜$c²=a²-b²＜（a-$\frac{2}$）²，
則有$\frac{4}{5}$a＜b＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，$\frac{16}{25}$a²＜b²＜$\frac{4}{5}$a²，則$\frac{16}{25}$a²＜a²-c²＜$\frac{4}{5}$a²，
∴$\frac{1}{5}$a²＜c²＜$\frac{9}{25}$a²，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$，
∴$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜e＜$\frac{3}{5}$，
故選A．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查不等式的解法，考查計算能力，屬于中檔題．