Question

【題目】（題文）已知是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，過(guò)的直線與垂直，并且與線段的垂直平分線相交于點(diǎn) .

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程;

（2）設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為(與不重合)，是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可知：，即曲線為拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）設(shè)，則，直線的方程，代入拋物線方程，求得的坐標(biāo)，的方程為，則令，則，直線與軸交于定點(diǎn)，即可求得存在一個(gè)定點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線.

試題解析：（Ⅰ）依題意，，即曲線為拋物線，其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為：，所以曲線的方程為．

（Ⅱ）設(shè)，則，

直線的斜率為，直線的方程為．

由方程組得．

設(shè)，則，，，所以，

又，所以的方程為．

令，得．即直線與軸交于定點(diǎn)．

因此存在定點(diǎn)，使得，，三點(diǎn)共線．