Question

【題目】已知、分別是離心率為的橢圓：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于其左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過右焦點(diǎn)作的外角平分線的垂線，交于點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)在圓上，且在第一象限，過作圓的切線交橢圓于、兩點(diǎn)，問：的周長是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，說明理由．

Answer 1

【答案】(1);(2)6.

【解析】試題分析：（1）由已知條件求出，再由離心率，求出b的值，寫出橢圓方程；（2）設(shè)的方程為（，），由直線AB與圓相切，求得

，設(shè) ，（），聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，求出的值，再算出弦長的表達(dá)式，由兩點(diǎn)間的距離公式算出 的表達(dá)式，算出的周長為定值。

試題解析：（1）延長交直線于點(diǎn)，

∵為的外角平分線的垂線，∴，為的中點(diǎn)，

∴ ，

由橢圓的離心率，得，，

∴橢圓的方程為．

（2）由題意，設(shè)的方程為（，），

∵直線與圓相切，∴，即，

由得，

設(shè) ，（），則，，

，

又，

∴，

同理，

∴ ，

∴，即的周長為定值6．