Question

8．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，AC=1，AA₁=BC=2，點D在側(cè)棱AA₁上．
（1）若D為AA₁的中點，求證：C₁D⊥平面BCD；
（2）若A₁D=$\sqrt{2}$，求二面角B-C₁D-C的大小．

Answer 1

分析 （1）證明BC⊥平面AA₁C₁C．推出BC⊥C₁D，證明CD⊥C₁D，即可證明C₁D⊥平面BCD．
（2）作CE⊥C₁D，垂足為E，連BE，說明∠BEC為二面角B-C₁D-C的平面角．Rt△BCE中，tan∠BEC=$\frac{BC}{CE}$求解即可．

解答 解：（1）證明：由已知，AA₁⊥BC，AC⊥BC，則BC⊥平面AA₁C₁C．
因為C₁D?平面AA₁C₁C，則BC⊥C₁D．①（2分）
因為D為AA₁的中點，則AD=AC=1，
又AD⊥AC，則△CAD為等腰直角三角形，所以∠ADC=45°．
同理∠A₁DC₁=45°．
所以∠CDC₁=90°，即CD⊥C₁D．②（5分）
結(jié)合①②知，C₁D⊥平面BCD．（6分）

（2）作CE⊥C₁D，垂足為E，連BE，如圖．
因為BC⊥平面AA₁C₁C，則BC⊥C₁D，所以C₁D⊥平面BCE，
則C₁D⊥BE，所以∠BEC為二面角B-C₁D-C的平面角．（8分）
因為A₁D=$\sqrt{2}$，A₁C₁=1，則C₁D=$\sqrt{3}$．
在△CC₁D中，CC₁=2，CC₁邊上的高為1，則其面積為1．
所以$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×CE=1，得CE=$\frac{2}{\sqrt{3}}$．（10分）
在Rt△BCE中，tan∠BEC=$\frac{BC}{CE}$=$\sqrt{3}$，則∠BEC=60°，所以二面角的大小為60°．（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．