【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．記f（x）≤1的解集為M，g（x）≤4的解集為N．
（1）求M；
（2）當(dāng)x∈M∩N時(shí)，證明：x2f（x）+x[f（x）]2≤ ．

【答案】
（1）解：由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得 ①，或 ②．

解①求得1≤x≤ ，解②求得 0≤x＜1．

綜上，原不等式的解集為[0， ]．


（2）證明：

由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣ ≤x≤ ，

∴N=[﹣ ， ]，

∴M∩N=[0， ]．

∵當(dāng)x∈M∩N時(shí)，f（x）=1﹣x，

∴x2f（x）+x[f（x）]2=xf（x）[x+f（x）]= ﹣ ≤ ，

故要證的不等式成立．


【解析】（1）由所給的不等式可得 ①，或 ②，分別求得①、②的解集，再取并集，即得所求．（2）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0， ]．當(dāng)x∈M∩N時(shí)，f（x）=1﹣x，不等式的左邊化為 ﹣ ，顯然它小于或等于 ，要證的不等式得證．
【考點(diǎn)精析】掌握集合的交集運(yùn)算是解答本題的根本，需要知道交集的性質(zhì)：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，則AB，反之也成立．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價(jià)格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：

作物產(chǎn)量（kg）

300

500

概率

0.5

0.5

作物市場價(jià)格（元/kg）

6

10

概率

0.4

0.6


（1）設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；
（2）若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3，從盒中任取3張卡片.

（1）求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率;

（2）表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

（注：若三個(gè)數(shù)滿足，則稱為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)
f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣ （sinx+1）
g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣ ）
證明：
（1）存在唯一x0∈（0， ），使f（x0）=0；
（2）存在唯一x1∈（ ，π），使g（x1）=0，且對(duì)（Ⅰ）中的x0 ， 有x0+x1＜π．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（題文）已知函數(shù)

（I）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（II）當(dāng)時(shí)，若對(duì)于區(qū)間上的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）當(dāng)時(shí)，

① 若對(duì)于任意，恒有，求的取值范圍；

② 若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨機(jī)將1，2，…，2n（n∈N* ， n≥2）這2n個(gè)連續(xù)正整數(shù)分成A、B兩組，每組n個(gè)數(shù)，A組最小數(shù)為a1 ， 最大數(shù)為a2；B組最小數(shù)為b1 ， 最大數(shù)為b2；記ξ=a2﹣a1 ， η=b2﹣b1 ．
（1）當(dāng)n=3時(shí)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）C表示事件“ξ與η的取值恰好相等”，求事件C發(fā)生的概率P（C）；
（3）對(duì)（2）中的事件C， 表示C的對(duì)立事件，判斷P（C）和P（ ）的大小關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓： 的離心率，且橢圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)， 為拋物線： 上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線交橢圓于兩點(diǎn)，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】由不等式組 確定的平面區(qū)域記為Ω1 ， 不等式組 確定的平面區(qū)域記為Ω2 ， 在Ω1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在Ω2內(nèi)的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.

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