Question

已知橢圓C₁：＝1，拋物線C₂：(y－m)²＝2px(p＞0)，且C₁、C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右焦點．

(1)當(dāng)AB⊥x軸時，求m、p的值，并判斷拋物線C₂的焦點是否在直線AB上；

(2)是否存在m、p的值，使拋物線C₂的焦點恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的m、p的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：當(dāng)AB⊥x軸時，點A、B關(guān)于x軸對稱． 　　所以m＝0，直線AB的方程為x＝1，從而點A的坐標(biāo)為(1，)或(1，)． 　　因為點A在拋物線上，所以＝2p，即p＝． 　　此時C2的焦點坐標(biāo)為(，0)，該焦點不在直線AB上． 　　(2)解法一：假設(shè)存在m、p的值使C2的焦點恰在直線AB上， 　　由(1)知直線AB的斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)． 　　由． 　　消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0　�、� 　　設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)， 　　則x1、x2是方程①的兩根，x1＋x2＝． 　　由 　　消去y得(kx－k－m)2＝2px　�、� 　　因為C2的焦點(，m)在y＝k(x－1)上， 　　所以m＝k(－1)，即m＋k＝． 　　代入②有(kx－)2＝2px， 　　即k2x2－p(k2＋2)x＋＝0　�、� 　　由于x1、x2也是方程③的兩根， 　　所以x1＋x2＝． 　　從而＝，p＝　　④ 　　又AB過C1、C2的焦點， 　　所以|AB|＝(x1＋)＋(x2＋) 　　＝x1＋x2＋p＝(2－x1)＋(2－x2)． 　　則p＝4－(x1＋x2)＝4－．⑤ 　　由④⑤得＝， 　　即k4－5k2－6＝0．解得k2＝6． 　　于是k＝，p＝． 　　因為C2的焦點(，m)在直線y＝(x－1)上，所以m＝(－1)，即m＝或m＝． 　　由上，知滿足條件的m、p存在，且m＝或m＝，p＝． 　　解法二：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)， 　　因為AB既過C1的右焦點F(1，0)，又過C2的焦點(，m)， 　　所以|AB|＝(x1＋)＋(x2＋) 　�。絰1＋x2＋p＝(2－x1)＋(2－x2)． 　　即x1＋x2＝(4－p)．① 　　由(1)知x1≠x2，p≠2， 　　于是直線AB的斜率k＝．② 　　且直線AB的方程是y＝(x－1)． 　　所以y1＋y2＝(x1＋x2－2)＝．③ 　　又因為 　　所以3(x1＋x2)＋4(y1＋y2)·＝0．④ 　　將①②③代入④得m2＝．⑤ 　　因為 　　所以y1＋y2－2m＝2p．⑥ 　　將②③代入⑥得m2＝，⑦ 　　由⑤⑦得， 　　即3p2＋20p－32＝0． 　　解得p＝或p＝－8(舍去)． 　　將p＝代入⑤得m2＝． 　　所以m＝或m＝． 　　由上，知滿足條件的m、p存在，且m＝或m＝，p＝．