Question

設f（x）=e^x（ax²+x+1），且曲線y=f（x）在x=1處的切線與x軸平行．
（Ⅰ）求a的值，并求f（x）的極值；
（Ⅱ）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)y=f（x）+kx²e^x存在零點，并求出零點．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，利用曲線y=f（x）在x=1處的切線與x軸平行，即可求a的值，確定函數(shù)的單調性，可求f（x）的極值；
（Ⅱ）由y=f（x）+kx²e^x=e^x[（k-1）x²+x+1]=0，得（k-1）x²+x+1=0，分類討論，即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）…（2分）
由已知條件知，f'（1）=0，故a+3+2a=0⇒a=-1…（3分）
于是f'（x）=e^x（-x²-x+2）=-e^x（x+2）（x+1）…（4分）
故當x∈（-∞，-2）∪（1，+∞）時，f'（x）＜0； 當x∈（-2，1）時，f'（x）＞0．
從而f（x）在x=-2處取得極小值-5e^-2，在x=1處取得極大值e…（8分）
（Ⅱ）由y=f（x）+kx²e^x=e^x[（k-1）x²+x+1]=0，得（k-1）x²+x+1=0（*）…（10分）
當k=1時，方程（*）有一解x=-1，函數(shù)y=f（x）+kx²e^x有一零點x=-1；…（11分）
當k≠1時，方程（*）有二解?△=-4k+5＞0?k＜

5

4

，函數(shù)y=f（x）+kx²e^x有兩個零點x=

-1± -4k+5

2(k-1)

；
方程（*）有一解?△=0?k=

5

4

，函數(shù)y=f（x）+kx²e^x有一個零點x=-2…（13分）
綜上，當k=1時，函數(shù)有一零點x=-1；當k=

5

4

時，函數(shù)有一零點x=-2；
當k＜

5

4

且k≠1時，函數(shù)y=f（x）+kx²e^x有兩個零點x=

-1± -4k+5

2(k-1)

…（14分）

點評：本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的零點，考查分類討論的數(shù)學思想，正確分類是關鍵．