Question

10．某個服裝店經(jīng)營某種服裝，在某周內(nèi)獲純利潤y（元）與該周每天銷售這種服裝件數(shù)x之間的一組數(shù)據(jù)關(guān)系見下表：

x	3	4	5	6	7	8	9
y	66	69	73	81	89	90	91

已知：$\sum_{i=1}^7{x_i^2}$=280，$\sum_{i=1}^7{y_i^2}$=45309，$\sum_{i=1}^7{{x_i}{y_i}}$=3487．
參考公式：回歸直線的方程是：$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$，其中$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat$x．
（1）求$\overline x$，$\overline y$；
（2）畫出散點圖；
（3）求獲純利潤y與每天銷售件數(shù)x之間的線性回歸方程．

Answer 1

分析 （1）利用平均數(shù)公式計算即得；
（2）把所給的7對數(shù)據(jù)寫成對應(yīng)的點的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描出來，得到散點圖；
（3）作出利用最小二乘法來求線性回歸方程的系數(shù)的量，求出橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，求出系數(shù)，再求出a的值，即可求出回歸方程．

解答 解：（1）求$\overline x$=$\frac{1}{7}×（3+4+5+6+7+8+9）$=6，
$\overline y$=$\frac{1}{7}×（66+69+73+81+89+90+91）$=79.86；
（2）把所給的7對數(shù)據(jù)寫成對應(yīng)的點的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描出來，得到散點圖．
散點圖如下圖所示．

（3）由散點圖知，y與x有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)線性回歸方程為$\widehaty=bx+a$，
∵$\sum_{i=1}^7{x_i^2}=280$，$\sum_{i=1}^7{y_i^2}=45309$，$\sum_{i=1}^7{{x_i}{y_i}}=3487$，$\overline x=6$，$\overline y=79.86$，
∴$b=\frac{{3487-7×6×\frac{559}{7}}}{280-7×36}=\frac{133}{28}=4.75$，a=79.86-6×4.75=51.36，
∴線性回歸方程為$\widehaty=4.75x+51.36$．

點評 本題考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，是中檔題．