Question

17．如圖1，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側(cè)棱PC上一點(diǎn)，它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示．
（1）證明：AD⊥BC；
（2）求三棱錐D-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）先證明BC⊥平面PAC，再證明AD⊥平面PBC，進(jìn)而可得AD⊥BC；
（2）三棱錐D-ABC的體積即為三棱錐B-ADC的體積，進(jìn)而得到答案．

解答 解：（1）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥BC，

又AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，
所以BC⊥AD．…（3分）
由三視圖可得，
在△PAC中，PA=AC=4，D為PC中點(diǎn)，
所以AD⊥PC，
所以AD⊥平面PBC
又因?yàn)锽C?面PBC，
故AD⊥BC…（6分）
（2）由三視圖可得BC=4，
由（1）知∠ADC=90°，BC⊥平面PAC…（9分）
又三棱錐D-ABC的體積即為三棱錐B-ADC的體積，
所以，所求三棱錐的體積$V=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×\frac{1}{2}×4×4=\frac{16}{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積和表面積，簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，難度中檔．