【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)有兩個極值點,,且,求證:.(注:為自然對數(shù)的底數(shù))
【答案】(1);(2)證明見解析
【解析】
(1)函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),,化為:,.利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
(2)在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根,方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根.令,利用根的分布可得的范圍,再利用根與系數(shù)關(guān)系可得:,得,令.利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出.
(1)解:∵函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),
∴,化為:,,
令,則時取等號.
.
∴實數(shù)的取值范圍是;
(2)證明:在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根,
即方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根,
記,則,解得,
,
,
令,
,
記,
,
令在上單調(diào)遞增.
,
因此函數(shù)存在唯一零點,使得,
當;當時,,
而在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
而,
,
,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減,
,
可得:,
即.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當時,函數(shù)在區(qū)間的最小值為,試比較與的大小.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓,下圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每卦有三根線組成(“”表示一根陽線,“”表示一根陰線),從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的概率__________.
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【題目】楊輝三角,是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)了楊輝三角.在歐洲,帕斯卡在1654年也發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律,所以這個表又叫做帕斯卡三角形.楊輝三角是中國古代數(shù)學的杰出研究成果之一,它把二項式系數(shù)圖形化,把組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性質(zhì)直觀地從圖形中體現(xiàn)出來,是一種離散型的數(shù)與形的結(jié)合.
第0行 | 1 |
第1行 | 1 1 |
第2行 | 1 2 1 |
第3行 | 1 3 3 1 |
第4行 | 1 4 6 4 1 |
第5行 | 1 5 10 10 5 1 |
第6行 | 1 6 15 20 15 6 1 |
(1)記楊輝三角的前n行所有數(shù)之和為,求的通項公式;
(2)在楊輝三角中是否存在某一行,且該行中三個相鄰的數(shù)之比為?若存在,試求出是第幾行;若不存在,請說明理由;
(3)已知n,r為正整數(shù),且.求證:任何四個相鄰的組合數(shù),,,不能構(gòu)成等差數(shù)列.
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【題目】如圖,直三棱柱中,,,為的中點.
(I)若為上的一點,且與直線垂直,求的值;
(Ⅱ)在(I)的條件下,設(shè)異面直線與所成的角為45°,求直線與平面成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若,求函數(shù)在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在和處有兩個極值點,其中,.
(i)求實數(shù)的取值范圍;
(ii)若(e為自然對數(shù)的底數(shù)),求的最大值.
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【題目】(本小題滿分12分)如圖,在多面體中,底面是邊長為的的菱形, ,四邊形是矩形,平面平面, , 和分別是和的中點.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的大。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知實數(shù)a滿足1<a≤2,設(shè)函數(shù)f (x)=x3-x2+ax.
(Ⅰ) 當a=2時,求f (x)的極小值;
(Ⅱ) 若函數(shù)g(x)=4x3+3bx2-6(b+2)x (b∈R) 的極小值點與f (x)的極小值點相同,
求證:g(x)的極大值小于等于10.
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