Question

12．已知函數(shù)f（x）=lg$\frac{x+1}{x-1}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域，并證明其在定義域上是奇函數(shù)；
（Ⅱ）對(duì)于x∈[2，6]，f（x）＞lg$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對(duì)數(shù)函數(shù)的指數(shù)大于0，從而求解定義域．根據(jù)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行判斷即可．
（Ⅱ）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問(wèn)題求解m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由$\frac{x+1}{x-1}$＞0，解得x＜-1或x＞1，
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞），
∵f（-x）=lg$\frac{-x+1}{-x-1}$=lg$\frac{x-1}{x+1}$=-lg$\frac{x+1}{x-1}$=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
（Ⅱ）由題意：x∈[2，6]，
∴（x-1）（7-x）＞0，
∵$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$＞0，可得：m＞0．
即：lg$\frac{x+1}{x-1}$＞lg$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$＞恒成立，
整理：lg$\frac{x+1}{x-1}$-lg$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$＞0，
化簡(jiǎn)：lg$\frac{（x+1）（7-x）}{m}$＞0，
可得：lg$\frac{（x+1）（7-x）}{m}$＞lg1，
即$\frac{（x+1）（7-x）}{m}$＞1，
∴（x+1）（7-x）-m＞0，即：-x²+6x+7＞m，（x∈[2，6]）恒成立，
只需m小于-x²+6x+7的最小值．
令：y=-x²+6x+7=-（x-3）²+16
開口向下，x∈[2，6]，
當(dāng)x=6時(shí)，y取得最小值，y_min=-（6-3）²+16=7，
所以：實(shí)數(shù)m的取值范圍（0，7）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．