Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的右焦點為（ ，0），離心率為 ．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若動點P（x0 ， y0）為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意知 ，求得a=3，b=2，

∴橢圓的方程為 + =1

（2）解：①當兩條切線中有一條斜率不存在時，即A、B兩點分別位于橢圓長軸與短軸的端點，P的坐標為（±3，±2），符合題意，

②當兩條切線斜率均存在時，設(shè)過點P（x0，y0）的切線為y=k（x﹣x0）+y0，

+ = + =1，整理得（9k2+4）x2+18k（y0﹣kx0）x+9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，

∴△=[18k（y0﹣kx0）]2﹣4（9k2+4）×9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，

整理得（x02﹣9）k2﹣2x0×y0×k+（y02﹣4）=0，

∴﹣1=k1k2= =﹣1，

∴x02+y02=13．

把點（±3，±2）代入亦成立，

∴點P的軌跡方程為：x2+y2=13

【解析】（1）根據(jù)焦點坐標和離心率求得a和b，則橢圓的方可得．（2）設(shè)出切線的方程，帶入橢圓方程，整理后利用△=0，整理出關(guān)于k的一元二次方程，利用韋達定理表示出k1k2 ， 進而取得x0和y0的關(guān)系式，即P點的軌跡方程．
【考點精析】利用橢圓的標準方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．