(2013•大連一模)設離心率e=
1
2
的橢圓M:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦點分別為F1、F2,P是x軸正半軸上一點,以PF1為直徑的圓經過橢圓M短軸端點,且該圓和直線x+
3
y+3=0
相切,過點P直線橢圓M相交于相異兩點A、C.
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)若相異兩點A、B關于x軸對稱,直線BC交x軸與點Q,求Q點坐標.
分析:(Ⅰ)設圓所過短軸端點為N,由|NF1|=a,∠PNF1=
π
2
,e=
1
2
,可判斷F2(c,0)是以PF1為直徑的圓的圓心,根據圓和直線相切可得2c=
|c+3|
1+(
3
)
2
,據此解得c值,從而得到a,b;
(Ⅱ)設點A(x1,y1),C(x2,y2),則點B(x1,-y1),設直線PA的方程為y=k(x-3),代入橢圓方程消掉y得x的二次方程,寫出直線BC的方程,令y=0可得點Q的橫坐標,代入韋達定理即可求得其值,從而得到點Q的坐標;
解答:解:(Ⅰ)設以PF1為直徑的圓經過橢圓M短軸端點N,
∴|NF1|=a,∠PNF1=
π
2
,∵e=
1
2
,∴a=2c,
∠NF1P=
π
3
,|F1P|=2a.
∴F2(c,0)是以PF1為直徑的圓的圓心,
∵該圓和直線x+
3
y+3=0
相切,
2c=
|c+3|
1+(
3
)
2
,
c=1,a=2,b=
3

∴橢圓M的方程為:
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)設點A(x1,y1),C(x2,y2),則點B(x1,-y1),
設直線PA的方程為y=k(x-3),聯(lián)立方程組
x2
4
+
y2
3
=1
y=k(x-3).

化簡整理得(4k2+3)x2-24k2x+36k2-12=0,
由△=(24k22-4•(3+4k2)•(36k2-12)>0得k2
3
5

x1+x2=
24k2
4k2+3
,x1x2=
36k2-12
4k2+3

直線BC的方程為:y+y1=
y2+y1
x2-x1
(x-x1)
,
令y=0,則x=
y1x2+y2x1
y1+y2
=
2x1x2-3(x1+x2)
x1+x2-6
=
72k2-24
4k2+3
-
72k2
4k2+3
24k2
4k2+3
-6
=
4
3
,
∴Q點坐標為(
4
3
,0)
點評:本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關系,考查學生對問題的分析解決能力,韋達定理、判別式是常用內容,要牢固掌握.
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a+1
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1-i
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